هندسه کثیفی که حدس دیرینه کاشی‌کاری را نقض کرد

اگر مربع را مانند یک قطعه پازل جیگساو در نظر بگیرید و دیگر موزاییک‌ها از مجموعه‌ی یکسانی از جابه‌جایی‌ها استفاده کنند، می‌توان آن‌ها را مانند برش‌های سرد ساندویچ انباشته کرد و موزاییکی ساخت که از یک مجموعه تبدیل برای پوشاندن فضای سه‌بعدی استفاده می‌کند. گرینفلد و تائو باید این کار را در ابعاد بیشتری انجام دهند. تائو می‌گوید، از آنجا که روی ابعاد بالاتری کار می‌کنیم، اضافه کردن یک بعد دیگر آسیب چندانی به کارمان نمی‌زند. به‌این‌ترتیب می‌توان به انعطاف بیشتری برای رسیدن به یک راه‌حل خوب دست یافت.

ریاضی‌دان‌ها می‌خواستند این روال ساندویچ‌سازی را معکوس کنند و معادله‌ی مسئله‌ی کاشی‌کاری در ابعاد بالا را به شکل مجموعه‌هایی از معادله‌های کاشی‌کاری در ابعاد پائین‌تر بازنویسی کنند. این معادله‌ها بعدا ساختار موزاییکی در ابعاد بالا را تعیین می‌کنند.

گرینفلد و تائو سیستم معادلات موزاییک‌کاری خود را به برنامه‌ای کامپیوتری تشبیه کردند: هر خط کد یا معادله یک دستور است و ترکیبی از دستورها می‌تواند به تولید برنامه‌ای بینجامد که به هدفی مشخص می‌رسد. به گفته‌ی تائو، مدارهای منطقی از گیت‌های AND و OR ساخته‌ شده‌اند که هر کدام به تنهایی جذابیتی ندارند؛ اما می‌توانید با انباشته‌سازی آن‌ها به مداری برسید که یک موج سینوسی ترسیم می‌کند یا ارتباطی اینترنتی را برقرار می‌کند.

بنابراین آن‌ها مسئله را به شکل نوعی مسئله‌ی برنامه‌نویسی در نظر گرفتند. هر کدام از دستورها هم‌ارز با ویژگی متفاوتی است که برای رسیدن به کاشی‌کاری نهایی ضروری است؛ بنابراین برنامه به‌صورت کلی تضمین می‌کند که کاشی‌کاری باید غیرتناوبی باشد.

سپس این پرسش مطرح شد که چه ویژگی‌هایی برای عملی کردن معادله‌های کاشی‌کاری لازم هستند. برای مثال موزاییکی در یک لایه از ساندویچ ممکن است به‌گونه‌ای شکل بگیرد که تنها اجازه‌ی انواع مشخصی از حرکت‌ها را بدهد. به همین دلیل ریاضی‌دان‌ها محدودیت‌های خود را به شکلی دقیق اعمال کردند تا مانع از تمام راه‌حل‌ها نشوند. به گفته‌ی گرینفلد، چالش اصلی در اینجا رسیدن به سطح مناسبی از محدودیت برای رمزنگاری معمای صحیح است.

معمایی که گرینفلد و تائو به دنبال برنامه‌نویسی آن با معادله‌های موزاییکی خود بودند، در واقع شبکه‌ای با تعداد نامتناهی سطر و تعداد زیادی اما متناهی، ستون بود. این دو ریاضی‌دان می‌خواستند هر سطر و هر قطر با توالی‌های مشخصی از اعداد پر شوند که هم‌ارز با انواع محدودیت‌هایی هستند که با معادله‌های کاشی‌کاری توصیف می‌شوند. آن‌ها این شبکه را به یک پازل عظیم سودوکو تشبیه کردند. این دو ریاضی‌دان سپس دریافتند که توالی‌ها غیرتناوبی بودند؛ به این معنی که راه‌حل سیستم مرتبط با معادله‌های موزاییکی هم غیرتناوبی بوده است. به گفته‌ی تائو، در اصل، تنها یک راه‌حل برای این معما وجود دارد و جالب است که «تقریبا» تناوبی است نه «کاملا».

همان‌طور که یوسویچ می‌گوید، گرینفلد و تائو در واقع یک شیء کاملا بنیادی را ایجاد کردند و آن را به موقعیتی رساندند که در آن همه چیز پیچیده‌تر به نظر می‌رسد. آن‌ها برای این کار یک موزاییک غیرتناوبی با ابعاد بالا را در ابتدا در یک تنظیمات گسسته و سپس در زمینه‌ای پیوسته ساختند. موزاییک آن‌ها به‌قدری پیچیده و پر از حفره است که به‌سختی فضا را می‌پوشاند. درواقع موزاییکی بی‌نظم است. تائو می‌گوید، هیچ تلاشی برای زیباسازی موزاییک نکرده است. او و گرینفلد بعدا فضای موزاییک را هم محاسبه نکردند، بلکه صرفا می‌دانند این فضا به بزرگی ۲ به توان ۱۰۰ به توان ۱۰۰ است. اگر سعی کنید این عدد را در صفحات تمام کتاب‌های جهان بنویسید باز هم کاغذ کم می‌آورید. اثبات آن‌ها نوعی اثبات ساختاری است، به گونه‌ای که همه‌چیز آشکار و قابل محاسبه باشد اما هنوز از حالت بهینه فاصله دارد.

در واقع، ریاضی‌دان‌ها تصور می‌کنند بتوانند موزاییک‌های غیرتناوبی را در ابعاد کمتر هم پیدا کنند. دلیل این ذهنیت این بود که برخی بخش‌های ساختار آن‌ها فضاهای خاصی را دربر می‌گرفتند که به فضای دوبعدی نزدیک بودند؛ اما گرینفلد معتقد بود که یک کاشی سه‌بعدی را پیدا کرده است و ممکن است یک کاشی چهاربعدی هم وجود داشته باشد.